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1. Zahlbereiche -Teil 2

Allgemein

Autor: Michael Serejenkov

Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition, Multiplikation und Subtraktion abgeschlossen. Betrachtet man die Division zweier positiven oder negativen ganzen Zahlen , so stellt man fest, dass die Menge \mathbb{Z} bzgl. der Division nicht abgeschlossen ist:

7 \div 3 = \frac{7}{3} \notin \mathbb{Z}

Fügt man die Divisionsergebnisse zweier beliebigen positiven oder negativen ganzen Zahlen der Menge  \mathbb{Z} hinzu, entsteht die Menge rationaler Zahlen:

\mathbb{Q}:=\{...,-1,...,-\frac{1}{2},...,0,...,\frac{1}{2},...,5,...,7\frac{3}{4},... \}.

Durch die Erweiterung der Menge \mathbb{Q}  um irrationale Zahlen, wie beispielsweise \sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \pi , entsteht die Menge der reellen Zahlen:

\mathbb{R}:=\{...,-\sqrt{2},...,-\frac{1}{2},...,0,...,\pi,...,7 \sqrt[3]{4},... \}.

Die Menge der reellen Zahlen lässt sich auf weitere Zahlenbereiche erweitern, wie z.B. komplexe Zahlen. Aus Vereinfachungsgründen wird auf die Darstellung der weiteren Zahlbereichen an dieser Stelle verzichtet. Im weiteren Verlauf der „Wiederholung der mathematischen Grundlagen“ wird in dem Bereich der reellen Zahlen \mathbb{R} gearbeitet.

Copyright© 2013 Michael Serejenkov

1.Zahlbereiche – Teil 1

Allgemein

Autor: Michael Serejenkov

Die ganzen positiven Zahlen werden in der Mathematik „natürliche Zahlen“ genannt. Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet man mit dem Symbol \mathbb{N}:

\mathbb{N}:=\{1,2,3,...\}.

Fügt man den natürlichen Zahlen die Ziffer Null dazu, so entsteht die Menge der natürlichen Zahlen mit Null:

\mathbb{N}_0:=\{0,1,2,3,...\}.

Man kann zwei Elemente der Menge \mathbb{N}_0 miteinander addieren und multiplizieren. Das Ergebnis solcher Operationen liegt immer noch in der Menge \mathbb{N}_0 . Versucht man von einer natürlichen Zahl ein anderes Element der Menge \mathbb{N}_0 abzuziehen, so erkennt man, dass das Ergebnis der Subtraktion nicht immer in der Menge \mathbb{N}_0 liegt:

3-7=-4 \notin \mathbb{N}_0

Da die Subtraktion eine wünschenswerte mathematische Operation darstellt, fügt man der Menge  \mathbb{N}_0 die negativen Zahlen hinzu. Hierdurch entsteht die Menge der ganzen Zahlen, die bezüglich der Subtraktion abgeschlossen ist:

\mathbb{Z}:=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}.

Copyright© 2013 Michael Serejenkov